nota's story

중,고등학교 수학 공부를 할 때 가장 많이 배우고 가장 많이 사용하는 단원이 어디일까?

수많은 단원들 하나하나 모두 중요하고 계속 사용되기는 하지만, 굳이 한 단원만 꼽자면 이차방정식을 꼽을 수 있을 것 같다.

이차방정식에 대한 내용은 중학교 때부터 배우기 시작하며 고1 때도 배우고, 고2~3 때는 수업이 활용하게 된다.

어느 단원에 가던 활용 문제나 어려운 문제를 풀다 보면 이차방정식을 활용하게 되는 경우가 많다.

그리고 두자리, 세자리 곱셈을 계산할 때 구구단을 당연히 알고 있어야 계산이 가능하듯이

복잡한 방정식이나 활용 문제를 풀 때 이 이차방정식은 자유자재로 사용할 수 있어야 한다.

그런데 이차방정식을 정말 제대로 이해하고 문제를 푸는 학생은 그닥 많지 않은 것 같다.

방정식을 풀어라 하면 기계적으로 인수분해 하거나 근의 공식을 활용하고, 

근의 개수를 물어보면 기계적으로 판별식을 쓰고... 

물론 교과서 기본 문제 수준 정도는 쉽게 풀리겠지만 이런 정도로는 결국 고난이도의 문제를 풀기는 힘들다고 본다.

1. 이차방정식의 정의

정말 당연하지만 이차방정식의 정의에 대해 다시 짚고 넢어가야 할 필요가 있다.

이차방정식의 정의는 아래와 같다.

이때 a가 0이 아니라는 조건을 눈여겨보아야 한다. 문제에서 위와 같은 식이 있다고 해서 무조건 이차방정식이 아니라, a가 0이 아니라는 조건이 있는지, 혹은 구체적으로 '이차방정식' 이라는 표현을 썼는지에 따라 문제 접근 방식이 달라지게 된다. 만약 이런 언급이 있다면 '이차방정식' 이라는 가정 하에 문제를 풀어가면 되지만, 이런 언급이 없다면 위 방정식은 이차방정식일 수도, 일차 방정식일 수도, 혹은 그냥 상수 식일 수도 있기 때문이다. 그리고 a,b,c가 실수냐, 유리수냐, 정수냐 등에 따라 풀이 접근 방식이 달라지게 된다.

따라서 매우 쉬운 정의지만 문제에서 이를 봤을 때 이러한 내용을 정확히 짚고 넘어가는 것이 좋다.

2. 이차방정식의 풀이

이차방정식을 풀이하라고 하면 대부분 인수분해 혹은 근의 공식을 사용하게 된다. 하지만 왜 그렇게 푸는 지에 대해서도 이해하고 넘어가게 되면 어떤 경우에 인수분해를 하는 것인지, 어떤 경우에 근의 공식을 사용하는 것인지, 혹은 근을 구하지 않아도 되는 것인지에 대해 좀 더 판단하기 쉽다.

2-1. 인수분해

이차방정식을 인수분해를 이용하여 푸는 원리는 아래와 같다.

두 수를 곱했을 때 0이 나온다면, 두 수 적어도 둘 중 하나는 0이어야 한다는 원칙이다.

예를 들어, 이라는 방정식을 푼다고 생각해보자.

위 방정식은 아래와 같이 인수분해 할 수 있다.

여기서 위의 원리를 적용해보자면, x-3과 x+1 적어도 둘 중 하나는 0이 되어야 한다는 것이다.

따라서 x-3=0 or x+1=0, 즉 x=3 or -1 이라는 답이 나오게 된다.

2-2. 근의 공식

근의 공식을 사용하는 근본적인 원리는 아래와 같다.

그럼 위의 원리를 이용하여, 이라는 이차방정식을 풀어가보자.

위 원리를 이용하여 이 이차방정식을 풀기 위해서는, 좌변이 x에 대한 완전제곱식이 되어야 하며, 우변은 상수가 되어야 한다.

 => 양변에 c를 뺐다.

 => 양변을 a로 나누었다.

 => 좌변을 x에 대한 완전제곱식으로 만들기 위해, 양변에 같은 수를 더했다.

 => 좌변을 x에 대한 완전제곱식으로 인수분해 하였고, 우변을 통분하여 정리했다.

 => 위의 원리에 따라 식을 풀었다.

 => 좌변에 x만 남기고 다 우변으로 넘겼고, 루트 안의 분모는 루트 밖으로 정리하였다.

 => 통분을 하고 식을 정리하면 근의 공식이 보인다.

3. 근과 계수와의 관계

다음으로, 많은 학생들이 무조건 외우는 식들 중 하나인 근과 계수와의 관계이다.

위 이차 방정식의 두 근이 알파와 베타라고 가정을 한다면, 이 이차방정식은 인수분해 원리를 이용하여 아래와 같이 쓸 수 있다.

위 식을 차례대로 전개하면 아래와 같이 된다.

여기서 처음 쓴 이차방정식과 위 식의 일차항, 상수항이 같아야 하므로 이를 정리하면 아래와 같다.

 , 

그리고 이 식을 정리하면 아래와 같이 근과 계수와의 관계를 표현하는 식이 된다.

, 

이차 방정식 내의 핵심적인 내용은 위 내용이 전부이다. 위 내용을 활용하면 모든 문제를 풀 수 있다.

그리고 더 나아가 이차방정식을 좀 더 깊이 이해하기 위해서는 이차 함수의 내용도 함께 다뤄야 하지만

그래프는 포스팅하기가 힘들기 때문에 다음에 기회가 된다면 하겠다.